Combinable Extensions of Abelian Groups

The design of decision procedures for combinations of theories sharing some arithmetic fragment is a challenging problem in verification. One possible solution is to apply a combination method à la Nelson-Oppen, like the one developed by Ghilardi for unions of non-disjoint theories. We show how to apply this non-disjoint combination method with the theory of abelian groups as shared theory. We consider the completeness and the effectiveness of this nondisjoint combination method. For the completeness, we show that the theory of abelian groups can be embedded into a theory admitting quantifier elimination. For achieving effectiveness, we rely on a superposition calculus modulo abelian groups that is shown complete for theories of practical interest in verification. Key-words: Satisfiability Procedure, Combination, Equational Reasoning, Union of Non-Disjoint Theories, Arithmetic, Abelian Groups ∗ E-mail: [email protected] Extensions combinables des groupes abéliens Résumé : La conception de procédures de décision pour la combinaison de théories partageant un fragment d’arithmétique est un défi dans le domaine de la vérification. Une solution possible consiste à appliquer une méthode de combinaison à la Nelson-Oppen, comme celle développée par Ghilardi pour l’union de théories non-disjointes. On montre comment appliquer cette méthode de combinaison non-disjointe avec la théorie des groupes abéliens comme théorie partagée. On considère la complétude et l’effectivité de cette méthode. Pour la complétude, on montre que la théorie des groupes abéliens peut se plonger dans une théorie admettant l’élimination des quantificateurs. Pour être effectif, on utilise un calcul de superposition modulo la théorie des groupes abéliens qui est montré complet pour des théories intéressantes en pratique dans le domaine de la vérification. Mots-clés : procédure de satisfiabilité, combinaison, raisonnement équationnel, mélange de théories non-disjointes, groupes abéliens Combinable Extensions of Abelian Groups 3